Exercice 18

1. $5$ est un nombre premier. Le petit théorème de Fermat, dans sa version valable pour tout entier $n$, affirme que $$n^{5}\equiv n\;[5]$$ donc $a=n^{5}-n\equiv 0\;[5]$ : $$\boxed{a \text{ est divisible par } 5.}$$ Attention à la version employée. La forme $n^{p-1}\equiv 1\;[p]$ exige que $p$ ne divise pas $n$ ; la forme $n^{p}\equiv n\;[p]$, elle, est vraie sans aucune condition — c'est celle dont on a besoin ici, puisque $n$ pourrait être un multiple de $5$.

2. Factorisons : $$a=n^{5}-n=n\left(n^{4}-1\right)=n\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}+1\right)$$ en utilisant l'identité $n^{4}-1=\left(n^{2}\right)^{2}-1^{2}=(n^{2}-1)(n^{2}+1)$.

Or $n^{2}-1=(n-1)(n+1)$, donc $$a=(n-1)\,n\,(n+1)\left(n^{2}+1\right)$$ Le produit $(n-1)\,n\,(n+1)$ est celui de trois entiers consécutifs :

• parmi deux entiers consécutifs, l'un au moins est pair, donc $2$ divise ce produit ;

• parmi trois entiers consécutifs, l'un exactement est un multiple de $3$, donc $3$ divise ce produit.

Ainsi $a$ est divisible par $2$ et par $3$.

Les nombres $2$, $3$ et $5$ sont des nombres premiers distincts qui divisent tous trois $a$ : comme à l'exercice 11, le lemme d'Euclide montre que leur produit divise $a$. $$\boxed{a \text{ est divisible par } 2\times 3\times 5=30.}$$ Vérification : pour $n=2$, $a=32-2=30$ ; pour $n=3$, $a=243-3=240=30\times 8$.