Exercice 19

1. (a) $7$ étant premier, le petit théorème de Fermat donne $n^{7}\equiv n\;[7]$ pour tout entier $n$, donc $$\boxed{A=n^{7}-n \text{ est divisible par } 7.}$$

(b) $A=n\left(n^{6}-1\right)$, et $n^{6}-1=\left(n^{3}\right)^{2}-1^{2}=(n^{3}-1)(n^{3}+1)$, d'où $$\boxed{A=n\left(n^{3}+1\right)\left(n^{3}-1\right)}$$ En factorisant davantage, $n^{3}-1=(n-1)\left(n^{2}+n+1\right)$ et $n^{3}+1=(n+1)\left(n^{2}-n+1\right)$, donc $A$ contient le produit $$(n-1)\,n\,(n+1)$$ de trois entiers consécutifs. Comme à l'exercice 18, ce produit est divisible par $2$ et par $3$, donc $A$ l'est aussi.

(c) $2$, $3$ et $7$ sont des nombres premiers distincts qui divisent $A$, donc leur produit divise $A$ (comme à l'exercice 11) : $$\boxed{A \text{ est divisible par } 2\times 3\times 7=42.}$$

2. (a) Divisibilité par $3$ : en écrivant $B=n^{2}\left(n^{2}+1\right) \left(n^{2}-1\right)=n\cdot\big[(n-1)\,n\,(n+1)\big]\cdot\left(n^{2}+1\right)$, on retrouve le produit de trois entiers consécutifs, donc $3$ divise $B$.

Divisibilité par $5$ : développons différemment, $$B=n^{2}\left(n^{4}-1\right)=n^{6}-n^{2}=n\left(n^{5}-n\right)$$ Or l'exercice 18 a montré que $5$ divise $n^{5}-n$ : il divise donc $B$.

(b) On dresse le tableau de congruence modulo $4$ :

Lecture du tableau : si $n$ est pair, c'est le facteur $n^{2}$ qui est congru à $0$ ; si $n$ est impair, c'est le facteur $n^{2}-1$. Dans les deux cas, le produit est nul modulo $4$. $$\boxed{B \text{ est divisible par } 4.}$$

(c) Dans la décomposition en facteurs premiers de $B$, le nombre $2$ apparaît avec un exposant au moins égal à $2$ (puisque $4=2^{2}$ divise $B$), et $3$ et $5$ apparaissent aussi : par unicité de la décomposition, $2^{2}\times 3\times 5$ divise $B$ : $$\boxed{B \text{ est divisible par } 3\times 4\times 5=60.}$$ Vérification : pour $n=2$, $B=4\times 5\times 3=60$ ; pour $n=3$, $B=9\times 10\times 8=720=60\times 12$.