Exercice 20

1. On applique la relation de récurrence $u_{n+1}=5u_{n}-6$ : $$u_{1}=5\times 14-6=64 \qquad u_{2}=5\times 64-6=314$$

$$u_{3}=5\times 314-6=1564 \qquad u_{4}=5\times 1564-6=7814$$ Les deux derniers chiffres sont successivement $14$, $64$, $14$, $64$, $14$ : $$\boxed{\text{Conjecture : } u_{n} \text{ se termine par } 14 \text{ si } n \text{ est pair, et par } 64 \text{ si } n \text{ est impair.}}$$

2. Exprimons $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n}$ : $$u_{n+2}=5u_{n+1}-6=5\left(5u_{n}-6\right)-6=25u_{n}-36$$ Or $25\equiv 1\;[4]$ et $36=4\times 9\equiv 0\;[4]$, donc $$u_{n+2}\equiv 1\times u_{n}-0=u_{n}\;[4]$$

Cette relation signifie que la classe de $u_{n}$ modulo $4$ ne change pas lorsqu'on avance de deux rangs : elle ne dépend donc que de la parité de $n$. Comme $u_{0}=14=4\times 3+2\equiv 2$ et $u_{1}=64=4\times 16\equiv 0\;[4]$, une récurrence immédiate de deux en deux donne : $$\boxed{\text{pour tout } k\in\mathbb{N},\quad u_{2k}\equiv 2\;[4] \quad\text{et}\quad u_{2k+1}\equiv 0\;[4].}$$

3. (a) Démontrons par récurrence la propriété $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : \text{« } 2u_{n}=5^{\,n+2}+3 \text{ »}$$

Initialisation : Pour $n=0$ : $2u_{0}=2\times 14=28$ et $5^{2}+3=25+3=28$. Les deux membres coïncident, donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons $P_k$ vraie, c'est-à-dire $2u_{k}=5^{\,k+2}+3$. Alors : $$2u_{k+1}=2\left(5u_{k}-6\right)=5\times\left(2u_{k}\right)-12 =5\left(5^{\,k+2}+3\right)-12=5^{\,k+3}+15-12=5^{\,k+3}+3$$ C'est exactement $P_{k+1}$, qui est donc vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\quad 2u_{n}=5^{\,n+2}+3}$$

(b) Il suffit de connaître $5^{\,n+2}$ modulo $100$. Or : $$5^{2}=25,\qquad 5^{3}=125\equiv 25,\qquad 5^{4}=625\equiv 25\;[100]$$ Plus généralement, si $5^{m}\equiv 25\;[100]$ pour un $m\geqslant 2$, alors $5^{m+1}=5\times 5^{m}\equiv 125\equiv 25\;[100]$ : la propriété se propage. Ainsi $5^{\,n+2}\equiv 25\;[100]$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, et $$2u_{n}=5^{\,n+2}+3\equiv 25+3=28\;[100] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{2u_{n}\equiv 28\;[100]}$$

4. De $2u_{n}\equiv 28\;[100]$, on déduit que $2u_{n}-28$ est un multiple de $100$, donc $$2u_{n}-28=100k \iff u_{n}-14=50k \qquad (k\in\mathbb{Z})$$ Autrement dit $u_{n}\equiv 14\;[50]$ : les deux derniers chiffres de $u_{n}$ valent donc $14$ ou $64$.

Attention : on ne peut pas diviser directement une congruence modulo $100$ par $2$ ; le module se divise lui aussi, et l'on obtient une congruence modulo $50$ seulement. C'est précisément pourquoi deux possibilités subsistent.

Pour trancher, on utilise la question 2. Le nombre $14$ est congru à $2$ modulo $4$, et $64$ est congru à $0$ modulo $4$ : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{si } n \text{ est pair, } u_{n}\equiv 2\;[4] \text{ : les deux derniers chiffres sont } 14 ; \\[1mm] \text{si } n \text{ est impair, } u_{n}\equiv 0\;[4] \text{ : les deux derniers chiffres sont } 64. \end{array}}$$ La conjecture de la question 1 est donc démontrée.