Exercice 21

Partie A

1. $2009=16\times 125+9$, donc $2009\equiv 9\;[16]$, d'où $$2009^{2}\equiv 9^{2}=81=16\times 5+1\equiv 1\;[16]$$

2. On écrit $8001=2\times 4000+1$, donc $$2009^{8001}=\left(2009^{2}\right)^{4000}\times 2009\equiv 1^{4000}\times 2009=2009\;[16]$$

Partie B

1. (a) $2009=5\times 401+4$, donc $2009\equiv 4\;[5]$ et $$u_{0}=2009^{2}-1\equiv 4^{2}-1=15\equiv 0\;[5]$$

(b) Développons $(u_{n}+1)^{5}$ à l'aide de la formule du binôme : $$(u_{n}+1)^{5}=u_{n}^{5}+5u_{n}^{4}+10u_{n}^{3}+10u_{n}^{2}+5u_{n}+1$$ d'où $$u_{n+1}=(u_{n}+1)^{5}-1=u_{n}^{5}+5u_{n}^{4}+10u_{n}^{3}+10u_{n}^{2}+5u_{n}$$ En mettant $u_{n}$ en facteur : $$u_{n+1}=u_{n}\left(u_{n}^{4}+5u_{n}^{3}+10u_{n}^{2}+10u_{n}+5\right)$$ et en factorisant $5$ dans les quatre derniers termes : $$\boxed{u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2}+2u_{n}+1\right)\right]}$$

(c) Démontrons par récurrence la propriété $$\forall n\in\mathbb{N},\quad P_n : \text{« } u_{n} \text{ est divisible par } 5 \text{ »}$$

Initialisation : C'est la question 1.(a) : $u_{0}$ est divisible par $5$, donc $P_0$ est vraie.

Hérédité : Soit $k\in\mathbb{N}$. Supposons $u_{k}$ divisible par $5$. D'après la question précédente, $u_{k+1}=u_{k}\times A$ où $A$ est un entier. Comme $5$ divise $u_{k}$, il divise le produit $u_{k}\times A$, donc $u_{k+1}$. La propriété $P_{k+1}$ est vraie.

Conclusion : Par principe de récurrence : $$\boxed{\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n} \text{ est divisible par } 5.}$$

2. (a) Montrons d'abord que $u_{n}+1=2009^{\,2\times 5^{n}}$, par récurrence rapide : c'est vrai pour $n=0$ puisque $u_{0}+1=2009^{2}$, et si $u_{n}+1=2009^{\,2\times 5^{n}}$, alors $$u_{n+1}+1=(u_{n}+1)^{5}=\left(2009^{\,2\times 5^{n}}\right)^{5}=2009^{\,2\times 5^{n+1}}$$ Pour $n=3$ : $2\times 5^{3}=250$, donc $$\boxed{u_{3}=2009^{250}-1}$$ Montrons ensuite par récurrence que $5^{n+1}$ divise $u_{n}$. C'est vrai pour $n=0$ (question 1.(a)). Si $5^{k+1}$ divise $u_{k}$, alors $5$ divise $u_{k}$, donc aussi $u_{k}^{4}$, et le crochet $u_{k}^{4}+5\left(u_{k}^{3}+2u_{k}^{2}+2u_{k}+1\right)$ est divisible par $5$ ; d'après la question 1.(b), $u_{k+1}$ est alors divisible par $5^{k+1}\times 5=5^{k+2}$. Pour $n=3$, on obtient que $5^{4}=625$ divise $u_{3}$ : $$2009^{250}-1\equiv 0\;[625] \qquad\text{soit}\qquad \boxed{2009^{250}\equiv 1\;[625]}$$

(b) On écrit $8001=250\times 32+1$, donc $$2009^{8001}=\left(2009^{250}\right)^{32}\times 2009\equiv 1^{32}\times 2009=2009\;[625]$$

Partie C

D'après les parties A et B, le nombre $2009^{8001}-2009$ est divisible par $16$ et par $625$. Dans la décomposition en facteurs premiers de cette différence, le nombre premier $2$ apparaît donc avec un exposant au moins égal à $4$, et le nombre premier $5$ aussi (chapitre 1, exercice 16) ; par unicité de la décomposition, $2^{4}\times 5^{4}$ divise cette différence : $$16\times 625=10\,000 \qquad\Longrightarrow\qquad 2009^{8001}\equiv 2009\;[10\,000]$$ Il ne reste qu'à écrire $8001=3\times 2667$ pour faire apparaître un cube : $$2009^{8001}=\left(2009^{2667}\right)^{3}$$

$$\boxed{n=2009^{2667} \text{ convient : le cube de } n \text{ se termine par } 2\,009.}$$ L'idée de tout l'exercice est là : $10\,000=2^{4}\times 5^{4}$, et l'on traite séparément la puissance de $2$ (partie A) et la puissance de $5$ (partie B) avant de recoller les deux résultats.