Exercice 22

1. On calcule directement $u_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1$ :

2. Travaillons modulo $2$. Pour $n\geqslant 1$, $2^{n}\equiv 0$ et $6^{n}\equiv 0\;[2]$, tandis que $3\equiv 1\;[2]$ donne $3^{n}\equiv 1\;[2]$. Donc $$u_{n}\equiv 0+1+0-1=0\;[2] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{u_{n} \text{ est pair pour tout } n\in\mathbb{N}^{*}.}$$

3. Supposons $n$ pair, avec $n\geqslant 2$. Alors :

• $2^{n}$ est divisible par $4$, puisque $n\geqslant 2$ ;

• $6^{n}$ est divisible par $4$, pour la même raison ($6^{n}=2^{n}\times 3^{n}$) ;

• $3^{n}-1$ : comme $n$ est pair, $n=2m$ et $3^{n}=9^{m}$. Or $9\equiv 1\;[4]$, donc $9^{m}\equiv 1\;[4]$ et $3^{n}-1\equiv 0\;[4]$.

La somme des trois est donc divisible par $4$ : $$\boxed{\text{si } n \text{ est pair, } u_{n} \text{ est divisible par } 4.}$$ Vérification : $u_{2}=48=4\times 12$ et $u_{4}=1\,392=4\times 348$.

4. On cherche si chacun de ces nombres premiers divise au moins un terme.

• $2$ divise $u_{1}=10$ : $\boxed{2\in E}$

• $3$ divise $u_{2}=48$ : $\boxed{3\in E}$

• $5$ divise $u_{1}=10$ : $\boxed{5\in E}$

• $7$ divise $u_{5}=8\,050=7\times 1\,150$ : $\boxed{7\in E}$

5. (a) Soit $p$ premier avec $p>3$. Alors $p$ ne divise ni $2$ ni $3$, et le petit théorème de Fermat s'applique : $$2^{\,p-1}\equiv 1\;[p] \qquad\text{et}\qquad 3^{\,p-1}\equiv 1\;[p]$$ On en déduit, en isolant astucieusement un facteur : $$6\times 2^{\,p-2}=3\times\left(2\times 2^{\,p-2}\right)=3\times 2^{\,p-1}\equiv 3\times 1=3 \;[p]$$

$$\boxed{6\times 2^{\,p-2}\equiv 3\;[p] \qquad\text{et}\qquad 6\times 3^{\,p-2}\equiv 2\;[p]}$$ L'astuce consiste à répartir le facteur $6=2\times 3$ : on en donne $2$ à la puissance de $2$ pour reconstituer $2^{p-1}$, et $3$ à la puissance de $3$.

(b) Multiplions $u_{p-2}$ par $6$ : $$6\,u_{p-2}=6\times 2^{\,p-2}+6\times 3^{\,p-2}+6\times 6^{\,p-2}-6$$ Le troisième terme se simplifie : $6\times 6^{\,p-2}=6^{\,p-1}\equiv 1\;[p]$ par Fermat, puisque $p>3$ ne divise pas $6$. En reportant les trois congruences : $$6\,u_{p-2}\equiv 3+2+1-6=0\;[p] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{6\,u_{p-2}\equiv 0\;[p]}$$

6. La congruence précédente signifie que $p$ divise le produit $6\,u_{p-2}$. Or $p$ est premier et $p>3$, donc $p$ ne divise pas $6$. D'après le lemme d'Euclide, $p$ divise nécessairement l'autre facteur : $$\boxed{p \text{ divise } u_{p-2},\ \text{donc } p\in E.}$$ En rassemblant avec la question 4, tout nombre premier appartient à $E$ : les nombres $2$ et $3$ y sont, et tout premier $p>3$ également. $$\boxed{E \text{ est l'ensemble de \emph{tous} les nombres premiers ; il est donc infini.}}$$ Remarque. Il faut $p-2\geqslant 1$, c'est-à-dire $p\geqslant 3$, ce qui est bien assuré par l'hypothèse $p>3$.