Exercice 27

1. $5^{2}=25\equiv 1\;[8]$, donc $5^{2022}=\left(5^{2}\right)^{1011}\equiv 1\;[8]$ : le reste est $\boxed{1}$.

2. (a) On a $(n+3)^{3}=n^{3}+9n^{2}+27n+27\equiv n^{3}\;[9]$, et $7^{3}=343=9\times 38+1\equiv 1\;[9]$, donc $7^{n+3}=7^{n}\times 7^{3}\equiv 7^{n}\;[9]$.

(b) D'après a), $7^{n+3}+(n+3)^{3}\equiv 7^{n}+n^{3}\;[9]$ : par récurrence, le reste ne dépend que du reste de $n$ modulo $3$. On calcule $7^{0}+0=1$, $7^{1}+1=8$ et $7^{2}+8=57\equiv 3\;[9]$. Le reste vaut donc $\boxed{1,\ 8 \text{ ou } 3}$ selon que $n\equiv 0$, $1$ ou $2\;[3]$.