Exercice 26 Chiffrement affine

1. M $=12$ donne $63\equiv 11$ (L) ; A $=0$ donne $3$ (D) ; T $=19$ donne $98\equiv 20$ (U) ; H $=7$ donne $38\equiv 12$ (M) ; S $=18$ donne $93\equiv 15$ (P). Le mot chiffré est $\boxed{\text{LDUMP}}$.

2. On a $5\times 21=105=4\times 26+1$. Si $y\equiv 5x+3\;[26]$, alors $21(y-3)\equiv 105x\equiv x\;[26]$. Réciproquement, si $x\equiv 21(y-3)$, alors $5x+3\equiv 105(y-3)+3\equiv y\;[26]$. D'où l'équivalence.

3. X $=23$ donne $21\times 20=420\equiv 4$ (E) ; O $=14$ donne $21\times 11=231\equiv 23$ (X) ; A $=0$ donne $21\times(-3)=-63\equiv 15$ (P) ; K $=10$ donne $21\times 7=147\equiv 17$ (R) ; U $=20$ donne $21\times 17=357\equiv 19$ (T). Le message est $\boxed{\text{EXPERT}}$.

4. Avec la clé $4x+3$, les lettres A $=0$ et N $=13$ sont toutes deux chiffrées par $3$ (D), puisque $4\times 13=52\equiv 0\;[26]$. Deux lettres différentes ayant le même code, le déchiffrement est ambigu.

Un nombre $a$ convient comme clé lorsqu'il admet un « inverse » modulo $26$, comme $21$ pour $5$ ; ce sera le cas exactement lorsque $a$ n'a aucun diviseur premier commun avec $26$, ce que l'étude du PGCD permettra de démontrer.