Exercice 25 Clé de contrôle ISBN

1. $S=10\times 2+9\times 7+8\times 6+7\times 5+6\times 4+5\times 3+4\times 2+3\times 1+2\times 0+4=220=11\times 20$ : le numéro est $\boxed{\text{valide}}$.

2. Les neuf premiers chiffres donnent $20+9+16+21+24+25+24+21+16=176=11\times 16\equiv 0\;[11]$. La clé doit donc vérifier $a_{10}\equiv 0\;[11]$ : $\boxed{a_{10}=0}$.

3. Le chiffre $a_{i}$ est affecté du poids $w=11-i\in\llbracket 1;10\rrbracket$. La nouvelle somme est $S'=S+w(b_{i}-a_{i})\equiv w(b_{i}-a_{i})\;[11]$. Si $11$ divisait $S'$, il diviserait le produit $w(b_{i}-a_{i})$, donc, $11$ étant premier, il diviserait $w$ ou $b_{i}-a_{i}$ (lemme d'Euclide). C'est impossible, puisque $1\leqslant w\leqslant 10$ et $1\leqslant|b_{i}-a_{i}|\leqslant 10$. Donc $\boxed{S'\not\equiv 0\;[11]}$ et l'erreur est détectée.

4. Si l'on échange $a_{i}$ et $a_{i+1}$, de poids $w$ et $w-1$, la somme varie de $$\big(wa_{i+1}+(w-1)a_{i}\big)-\big(wa_{i}+(w-1)a_{i+1}\big)=a_{i+1}-a_{i},$$ qui est non nul et de valeur absolue au plus $10$, donc non divisible par $11$ : l'erreur est détectée.

Le choix du nombre premier $11$ est essentiel : modulo $10$, avec un poids $2$, la modification d'un chiffre de $5$ unités passerait inaperçue.