Exercice 28

1. On a $8(2x+3)=16x+24\equiv 5x+2\;[11]$ : si $11$ divise $2x+3$, il divise $5x+2$. Réciproquement, $7(5x+2)=35x+14\equiv 2x+3\;[11]$ : si $11$ divise $5x+2$, il divise $2x+3$. D'où $\boxed{11\mid 2x+3 \iff 11\mid 5x+2}$. Les facteurs $8$ et $7$ s'obtiennent en cherchant par quel nombre multiplier $2$ (resp. $5$) pour obtenir $5$ (resp. $2$) modulo $11$.

2. Les carrés modulo $12$ des entiers $0$, …, $11$ sont $0$, $1$, $4$, $9$, $4$, $1$, $0$, $1$, $4$, $9$, $4$, $1$. Ainsi : $$\boxed{12\mid x^{2}-1 \iff x\equiv 1,\ 5,\ 7 \text{ ou } 11\;[12]}$$ c'est-à-dire si et seulement si $x$ n'est divisible ni par $2$ ni par $3$. En revanche, $2$ n'est jamais un carré modulo $12$ : $\boxed{\text{aucun entier } x \text{ ne convient}}$ pour $x^{2}-2$.