Exercice 29

a) Les puissances de $2$ modulo $5$ sont $1$, $2$, $4$, $3$, puis se répètent ($2^{4}\equiv 1$). On a $2^{n}\equiv 3\;[5]$ si et seulement si $\boxed{n\equiv 3\;[4]}$.

b) Les puissances de $2$ modulo $13$ pour $n=0,\dots,12$ sont $1$, $2$, $4$, $8$, $3$, $6$, $12$, $11$, $9$, $5$, $10$, $7$, $1$ : elles se répètent avec la période $12$ (Fermat), et la valeur $3$ n'est atteinte que pour $n=4$. Donc $\boxed{n\equiv 4\;[12]}$.

c) $65=5\times 13$ avec $5$ et $13$ premiers distincts : $65$ divise un entier si et seulement si $5$ et $13$ le divisent (lemme d'Euclide). Il faudrait donc $n\equiv 3\;[4]$ et $n\equiv 4\;[12]$. Mais la seconde condition donne $n\equiv 4\equiv 0\;[4]$, ce qui contredit la première. $\boxed{\text{Aucun entier } n \text{ ne convient.}}$