Exercice 30

1. D'après le petit théorème de Fermat, $7^{p}\equiv 7$ et $8^{p}\equiv 8\;[p]$, donc $7^{p}+8^{p}\equiv 15\;[p]$. Ainsi $p$ divise $7^{p}+8^{p}$ si et seulement si $p$ divise $15$, c'est-à-dire $\boxed{p\in\{3\;;5\}}$. Vérification : $7^{3}+8^{3}=855=3\times 285$ et $7^{5}+8^{5}=49\,575=5\times 9\,915$.

2. Modulo $11$, Fermat donne directement $x^{11}\equiv x$. Modulo $3$, Fermat donne $x^{3}\equiv x$, donc $x^{9}=\left(x^{3}\right)^{3}\equiv x^{3}\equiv x$ et $x^{11}=x^{9}x^{2}\equiv x^{3}\equiv x\;[3]$. Ainsi $3$ et $11$ divisent $x^{11}-x$ ; ce sont deux nombres premiers distincts, donc (lemme d'Euclide) $33$ divise $x^{11}-x$ : $\boxed{x^{11}\equiv x\;[33]}$.