Exercice 31

D'après la Proposition 1, le reste de $F_{n+2}$ modulo $8$ ne dépend que des restes de $F_{n+1}$ et $F_{n}$. On calcule les premiers restes :

Comme $F_{12}\equiv F_{0}$ et $F_{13}\equiv F_{1}\;[8]$, une récurrence « à deux termes » montre que $F_{n+12}\equiv F_{n}\;[8]$ pour tout $n$ : si $F_{k+12}\equiv F_{k}$ et $F_{k+13}\equiv F_{k+1}$, alors $F_{k+14}=F_{k+13}+F_{k+12}\equiv F_{k+1}+F_{k}=F_{k+2}$. Le reste de $F_{n}$ est donc donné par le tableau, selon le reste de $n$ modulo $12$. Vérification : $F_{12}=144=8\times 18$ et $F_{13}=233=8\times 29+1$.