Exercice 32

a) $2730=2\times 1365=2\times 3\times 455=\boxed{2\times 3\times 5\times 7\times 13}$.

b) Les nombres $p-1$ valent $1$, $2$, $4$, $6$ et $12$, qui divisent tous $12$.

c) Soit $p$ l'un de ces nombres premiers. Si $p$ divise $x$, alors $x^{13}\equiv 0\equiv x\;[p]$. Sinon, $x^{p-1}\equiv 1\;[p]$ d'après Fermat, et comme $12=(p-1)m$ avec $m$ entier, $x^{12}=\left(x^{p-1}\right)^{m}\equiv 1$, d'où $x^{13}\equiv x\;[p]$. Ainsi les cinq nombres premiers distincts $2$, $3$, $5$, $7$, $13$ divisent $x^{13}-x$, donc leur produit aussi (lemme d'Euclide appliqué de proche en proche) : $\boxed{x^{13}\equiv x\;[2730]}$.

L'énoncé original du poly écrit « $x^{13}\equiv n\;[2730]$ », ce qui est une coquille.