Exercice 35 Carrés modulo un nombre premier

a) Tout entier est congru à $0$ ou $1$ modulo $2$, et $0^{2}=0$, $1^{2}=1$ : tout $x$ vérifie $x\equiv x^{2}\;[2]$.

b) Les carrés modulo $3$ sont $0$, $1$ ; modulo $5$ : $0$, $1$, $4$ ; modulo $7$ : $0$, $1$, $2$, $4$ (tableaux des exercices 9 et 13). Les carrés modulo $3$ sont donc les $x\equiv 0$ ou $1\;[3]$, et de même pour $5$ et $7$.

c) Si $x\equiv y^{2}\;[p]$ avec $p$ ne divisant pas $x$, alors $p$ ne divise pas $y$ (sinon $p$ diviserait $y^{2}$, donc $x$). Comme $p$ est impair, $\frac{p-1}{2}$ est entier et, par Fermat, $x^{\frac{p-1}{2}}\equiv y^{p-1}\equiv 1\;[p]$.

d) Si $p\equiv 3\;[4]$, alors $p$ est impair et $\frac{p-1}{2}$ est impair. Si $-1$ était un carré modulo $p$, la question c) donnerait $(-1)^{\frac{p-1}{2}}=-1\equiv 1\;[p]$, donc $p$ diviserait $2$, ce qui est absurde.

e) Comme $n\geqslant 2$, $n!$ est pair, donc $(n!)^{2}+1$ est impair et $p\neq 2$. De plus $-1\equiv(n!)^{2}\;[p]$ est un carré modulo $p$, donc d'après d), $p\not\equiv 3\;[4]$. Un nombre impair étant congru à $1$ ou $3$ modulo $4$, on a $\boxed{p\equiv 1\;[4]}$.

f) Si l'on avait $p\leqslant n$, $p$ diviserait $n!$, donc $(n!)^{2}$, et donc $1=\left((n!)^{2}+1\right)-(n!)^{2}$, ce qui est absurde. Ainsi $\boxed{p>n}$.

g) Pour tout entier $n\geqslant 2$, il existe un nombre premier $p\equiv 1\;[4]$ strictement supérieur à $n$ : l'ensemble de ces nombres premiers n'est donc pas majoré, il est $\boxed{\text{infini}}$.

La démarche des questions e) à g) reprend celle d'Euclide pour l'infinité des nombres premiers (Proposition 3 du chapitre 1), et celle de l'exercice 27 du chapitre 1 pour les nombres de la forme $6k+5$.