Exercice 34

Étape 1. Modulo $3$, les carrés valent $0$ (si $x\equiv 0$) ou $1$ (si $x\equiv 1$ ou $2$). Si $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$, alors $x^{2}+y^{2}\equiv 0\;[3]$ ; or $x^{2}+y^{2}$ est congru à $0$, $1$ ou $2$, et ne vaut $0$ que si $x^{2}\equiv y^{2}\equiv 0$, c'est-à-dire si $3$ divise $x$ et $y$. Alors $9$ divise $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$, donc $3$ divise $z^{2}$, puis $z$ (lemme d'Euclide).

Étape 2. Supposons qu'il existe une solution non nulle, et choisissons-en une, $(x,y,z)$, pour laquelle l'entier $|x|+|y|+|z|>0$ est le plus petit possible. D'après l'étape 1, $x=3x'$, $y=3y'$ et $z=3z'$ ; en divisant l'équation par $9$, on obtient $x'^{2}+y'^{2}=3z'^{2}$ : $(x',y',z')$ est une solution non nulle avec $|x'|+|y'|+|z'|=\frac{1}{3}\left(|x|+|y|+|z|\right)$, strictement plus petit. C'est absurde.

Donc $\boxed{(0,0,0) \text{ est la seule solution}}$. Ce raisonnement, dit de descente infinie, remonte à Fermat.