Exercice 4

1. On applique l'algorithme d'Euclide, puis on divise numérateur et dénominateur par le PGCD. $$3780=3528\times 1+252 \qquad ; \qquad 3528=252\times 14+0$$ Donc $\mathrm{PGCD}(3528,3780)=252$, et : $$\boxed{\frac{3528}{3780}=\frac{252\times 14}{252\times 15}=\frac{14}{15}}$$

$$1071=462\times 2+147 \qquad ; \qquad 462=147\times 3+21 \qquad ; \qquad 147=21\times 7+0$$ Donc $\mathrm{PGCD}(1071,462)=21$, et : $$\boxed{\frac{1071}{462}=\frac{21\times 51}{21\times 22}=\frac{51}{22}}$$ Une fraction divisée par le PGCD de ses deux termes est irréductible : si $a=da'$ et $b=db'$ avec $d=\mathrm{PGCD}(a,b)$, la Proposition 3 donne $d=d\times\mathrm{PGCD}(a',b')$, donc $\mathrm{PGCD}(a',b')=1$.

2. On travaille en centimètres : $336$ cm sur $240$ cm. Le côté $c$ d'une dalle doit diviser à la fois $336$ et $240$ pour qu'il n'y ait pas de découpe, et l'on veut $c$ le plus grand possible : $c=\mathrm{PGCD}(336,240)$. $$336=240\times 1+96 \qquad ; \qquad 240=96\times 2+48 \qquad ; \qquad 96=48\times 2+0$$

$$\boxed{c=48 \text{ cm}}$$ Il y a $\frac{336}{48}=7$ dalles dans la longueur et $\frac{240}{48}=5$ dans la largeur, soit $\boxed{7\times 5=35 \text{ dalles}}$.

La pièce est découpée en $7\times 5$ carrés de $48$ cm de côté ; la dalle violette en donne un exemple. Une dalle plus grande ne pourrait pas mesurer exactement à la fois $336$ et $240$ cm en un nombre entier d'exemplaires, puisque $48$ est le plus grand diviseur commun de ces deux longueurs.