Exercice 5

Notons $d$ l'entier cherché. Les divisions euclidiennes s'écrivent : $$4294=dq+10 \qquad \text{et} \qquad 3521=dq'+11$$ où $q$ et $q'$ sont des entiers. On en déduit : $$4294-10=4284=dq \qquad \text{et} \qquad 3521-11=3510=dq'$$ Autrement dit, $d$ est un diviseur commun à $4284$ et $3510$, donc un diviseur de leur PGCD. Calculons-le par l'algorithme d'Euclide : $$\begin{aligned} 4284 &= 3510\times 1+774 \\ 3510 &= 774\times 4+414 \\ 774 &= 414\times 1+360 \\ 414 &= 360\times 1+54 \\ 360 &= 54\times 6+36 \\ 54 &= 36\times 1+18 \\ 36 &= 18\times 2+0 \end{aligned}$$

$$\mathrm{PGCD}(4284,3510)=18$$ Les valeurs possibles de $d$ sont donc les diviseurs de $18$, à savoir $1$, $2$, $3$, $6$, $9$ et $18$. Mais un reste est toujours strictement inférieur au diviseur : comme le reste $11$ apparaît, il faut $d>11$. $$\boxed{d=18}$$ Vérification : $4294=18\times 238+10$ et $3521=18\times 195+11$.