Exercice 15

1. L'équation $7(x-3)=5(y-2)$ montre que $5$ divise $7(x-3)$. Or $\mathrm{PGCD}(5,7)=1$, donc d'après le théorème de Gauss, $5$ divise $x-3$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que : $$x-3=5k \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x=5k+3$$ En reportant dans l'équation : $7\times 5k=5(y-2)$, d'où $y-2=7k$ et $y=7k+2$. $$\boxed{S=\left\{(5k+3\,;7k+2) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$

2. $7x\equiv 1\;[5]$ signifie que $5$ divise $7x-1$, c'est-à-dire qu'il existe un entier $y$ tel que $7x-1=5y$, soit $7x-5y=1$. On fait apparaître l'équation précédente en écrivant : $$7x-5y=1 \iff 7x-21=5y-20 \iff 7(x-3)=5(y-4)$$ Le raisonnement de la question 1 s'applique à l'identique : $x-3=5k$, donc : $$\boxed{x\equiv 3\;[5], \text{ c'est-à-dire } x=5k+3 \text{ où } k\in\mathbb{Z}}$$ Vérification : $7\times 3=21=4\times 5+1$, donc $7\times 3\equiv 1\;[5]$.