Exercice 16

1. D'après le corollaire de Bézout, l'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $\mathrm{PGCD}(a,b)$ divise $c$. Ici : $$\mathrm{PGCD}(4,3)=1$$ et $1$ divise $2$. $$\boxed{\text{L'équation admet des solutions entières}}$$

2. On cherche une solution évidente : $4\times 2-3\times 2=8-6=2$. $$\boxed{(x_{0}\,;y_{0})=(2\,;2)}$$

3. Soit $(x\,;y)$ une solution. On soustrait terme à terme : $$\left\{\begin{array}{l} 4x-3y=2 \\ 4\times 2-3\times 2=2 \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad 4(x-2)-3(y-2)=0$$ soit $4(x-2)=3(y-2)$. Comme $3$ divise $4(x-2)$ et que $\mathrm{PGCD}(3,4)=1$, le théorème de Gauss donne $3\mid(x-2)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x-2=3k$, soit $x=3k+2$. En reportant, $4\times 3k=3(y-2)$, d'où $y=4k+2$. $$\boxed{S=\left\{(3k+2\,;4k+2) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $4(3k+2)-3(4k+2)=12k+8-12k-6=2$.

Cette vérification est indispensable : le raisonnement précédent procède par implication.