Exercice 17

1. $\mathrm{PGCD}(3,4)=1$ divise $6$ : l'équation admet des solutions. On en trouve une immédiatement en prenant $y=0$ : $$3\times 2-4\times 0=6 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{(x_{0}\,;y_{0})=(2\,;0)}$$

2. Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$3(x-2)-4(y-0)=0 \qquad \text{soit} \qquad 3(x-2)=4y$$ Comme $4$ divise $3(x-2)$ et que $\mathrm{PGCD}(3,4)=1$, le théorème de Gauss donne $4\mid(x-2)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x=4k+2$. En reportant, $3\times 4k=4y$, d'où $y=3k$. $$\boxed{S=\left\{(4k+2\,;3k) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $3(4k+2)-4\times 3k=12k+6-12k=6$.