Exercice 18

1. $\mathrm{PGCD}(5,8)=1$ divise $2$ : l'équation admet des solutions. On cherche d'abord une solution de $5x+8y=1$ : comme $5\times(-3)+8\times 2=-15+16=1$, le couple $(-3\,;2)$ convient. En multipliant par $2$ : $$5\times(-6)+8\times 4=2 \qquad \text{d'où} \qquad (x_{0}\,;y_{0})=(-6\,;4)$$ On peut aussi remarquer directement que $5\times 2+8\times(-1)=2$ : $$\boxed{(x_{0}\,;y_{0})=(2\,;-1)}$$

2. Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$5(x-2)+8(y+1)=0 \qquad \text{soit} \qquad 5(x-2)=-8(y+1)$$ Comme $8$ divise $5(x-2)$ et que $\mathrm{PGCD}(5,8)=1$, le théorème de Gauss donne $8\mid(x-2)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x=8k+2$. En reportant, $5\times 8k=-8(y+1)$, d'où $y+1=-5k$ et $y=-5k-1$. $$\boxed{S=\left\{(8k+2\,;-5k-1) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $5(8k+2)+8(-5k-1)=40k+10-40k-8=2$.