Exercice 19

1. $\mathrm{PGCD}(6,9)=3$. D'après le corollaire de Bézout, $6x+9y=c$ a des solutions entières si et seulement si $3$ divise $c$. $$\boxed{6x+9y=20 \text{ n'a pas de solution entière, } 6x+9y=21 \text{ en a}}$$ On peut aussi le voir directement : $6x+9y$ est toujours un multiple de $3$, ce que $20$ n'est pas.

2. On divise par $3$ : l'équation équivaut à $2x+3y=7$. Le couple $(2\,;1)$ est solution évidente, car $4+3=7$. Si $(x\,;y)$ est solution, en soustrayant : $$2(x-2)+3(y-1)=0 \qquad \text{soit} \qquad 2(x-2)=3(1-y)$$ Comme $3$ divise $2(x-2)$ et que $\mathrm{PGCD}(2,3)=1$, le théorème de Gauss donne $x-2=3k$ avec $k\in\mathbb{Z}$, puis $y=1-2k$. $$\boxed{S=\left\{(2+3k\,;1-2k) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $6(2+3k)+9(1-2k)=12+18k+9-18k=21$. L'erreur la plus répandue est d'oublier de simplifier par $3$ : on obtiendrait alors $x=2+9k$, $y=1-6k$, et l'on perdrait les deux tiers des solutions.