Exercice 37

Comme $u\geqslant 2$ et $v\geqslant 2$, on a $\ln(u)>0$ et $\ln(v)>0$ : le quotient est bien défini et strictement positif. Supposons par l'absurde qu'il soit rationnel : $\dfrac{\ln(v)}{\ln(u)}=\dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ dans $\mathbb{N}^{*}$. Alors : $$q\ln(v)=p\ln(u) \iff \ln\left(v^{q}\right)=\ln\left(u^{p}\right) \iff v^{q}=u^{p}$$ car la fonction $\ln$ est strictement croissante. Comme $u\geqslant 2$, $u$ admet un diviseur premier $r$. Alors $r$ divise $u^{p}=v^{q}$, donc, d'après le lemme d'Euclide (chapitre 1), $r$ divise $v$. Ainsi $r$ est un diviseur commun de $u$ et $v$ supérieur à $1$, ce qui contredit $\mathrm{PGCD}(u,v)=1$. $$\boxed{\frac{\ln(v)}{\ln(u)} \text{ est irrationnel}}$$ Par exemple, $\dfrac{\ln(3)}{\ln(2)}$ est irrationnel. C'est pourquoi aucune puissance de $3$ n'est une puissance de $2$, ce qui revient à dire, en musique, qu'aucune succession de quintes justes ne retombe exactement sur une octave.