Exercice 38 Racines rationnelles d'un polynôme

a) $P\left(\frac{p}{q}\right)=0$ s'écrit, après multiplication par $q^{n}$ : $$\sum_{k=0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}=0$$ On isole le terme $k=n$ : $$a_{n}p^{n}=-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}p^{k}q^{n-k}=-q\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}p^{k}q^{n-k-1}$$ car $n-k\geqslant 1$ pour $k\leqslant n-1$. Donc $q$ divise $a_{n}p^{n}$. Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, $q$ et $p^{n}$ le sont aussi (exercice 36), et le théorème de Gauss donne $\boxed{q\mid a_{n}}$.

De même, en isolant le terme $k=0$ : $a_{0}q^{n}=-p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}p^{k-1}q^{n-k}$, donc $p$ divise $a_{0}q^{n}$. Comme $p$ et $q^{n}$ sont premiers entre eux, $\boxed{p\mid a_{0}}$.

b) $\sqrt{2}$ est racine de $P(x)=x^{2}-2$, avec $a_{2}=1$ et $a_{0}=-2$. Si $P$ avait une racine rationnelle $\frac{p}{q}$ sous forme irréductible, on aurait $q\mid 1$, donc $q=1$, et $p\mid 2$ : la racine serait un entier parmi $\pm 1$ et $\pm 2$. Or leurs carrés valent $1$ ou $4$, et non $2$. Ainsi $P$ n'a pas de racine rationnelle, et $\boxed{\sqrt{2} \text{ est irrationnel}}$.

c) Soit $P(x)=x^{5}-5x+7$. On a $P'(x)=5x^{4}-5=5(x^{2}-1)(x^{2}+1)$, du signe de $x^{2}-1$.

Sur $[-1\,;+\infty[$, le minimum de $P$ est $P(1)=3>0$ : il n'y a pas de racine. Sur $]-\infty\,;-1]$, $P$ est continue et strictement croissante, avec $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty$ et $P(-1)=11>0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction strictement monotone, l'équation $P(x)=0$ y a une unique solution $\alpha$, et $\alpha<-1$.

Si $\alpha$ était rationnel, d'après a), ce serait un entier ($q\mid 1$) divisant $7$, donc $\alpha\in\{-7\,;-1\,;1\,;7\}$. Or $P(-7)=-16\,765$, $P(-1)=11$, $P(1)=3$ et $P(7)=16\,779$ : aucun n'est nul. $$\boxed{\text{l'unique solution réelle de } x^{5}-5x+7=0 \text{ est irrationnelle}}$$