Exercice 39 L'équation diophantienne $ax+by=c$

a) Si $(x\,;y)\in E$, $\delta$ divise $a$ et $b$, donc $ax+by=c$. Réciproquement, si $\delta\mid c$, écrivons $c=\delta c'$. L'identité de Bézout fournit $u$, $v$ tels que $au+bv=\delta$, d'où $a(uc')+b(vc')=c$ : le couple $(uc'\,;vc')$ est dans $E$. $$\boxed{E\neq\varnothing \iff \delta\mid c}$$

b) Comme $ax_{0}+by_{0}=c$ : $$(x,y)\in E \iff ax+by=ax_{0}+by_{0} \iff a(x-x_{0})=b(y_{0}-y) \iff \delta a'(x-x_{0})=\delta b'(y_{0}-y)$$ et l'on simplifie par $\delta\neq 0$ : $(x,y)\in E\iff a'(x-x_{0})=b'(y_{0}-y)$.

c) Si $(x\,;y)\in E$, $b'$ divise $a'(x-x_{0})$ et $\mathrm{PGCD}(a',b')=1$ (exercice 29, question 1), donc $b'\mid x-x_{0}$ d'après le théorème de Gauss : $x=x_{0}+tb'$ avec $t\in\mathbb{Z}$. En reportant, $a'tb'=b'(y_{0}-y)$, donc $y=y_{0}-ta'$ puisque $b'\neq 0$. Réciproquement, pour $t\in\mathbb{Z}$, $a'(tb')=b'(ta')$, donc $(x_{0}+tb'\,;y_{0}-ta')\in E$ d'après b). $$\boxed{E=\left\{(x_{0}+tb'\,,\,y_{0}-ta') \; ; \; t\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Le piège est d'utiliser $b$ et $a$ au lieu de $b'=\frac{b}{\delta}$ et $a'=\frac{a}{\delta}$ : on ne trouverait qu'une partie des solutions. On le voit à l'exercice 14, avec $33x+45y=12$ et $\delta=3$ : les solutions avancent de $15$ et $11$, et non de $45$ et $33$. L'exercice 19 en donne un autre exemple.