Le cercle trigonométrique

Un point tourne sur le cercle de rayon 1 : son abscisse est le cosinus, son ordonnée le sinus. On les regarde se dérouler en deux courbes, puis on relit sur le cercle les formules des angles associés.

On enroule la droite des réels sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ à partir du point $I(1\,;0)$ : le réel $t$ arrive en un point $M$, et l'on pose $\cos t$ égal à l'abscisse de $M$, $\sin t$ égal à son ordonnée. La page fait tourner $M$ à la souris, au doigt ou par un curseur qui avance degré par degré, et affiche les valeurs exactes aux multiples de $\dfrac{\pi}{6}$ et de $\dfrac{\pi}{4}$ : pour $t = \dfrac{2\pi}{3}$, on lit $\cos t = -\dfrac12$ et $\sin t = \dfrac{\sqrt3}{2}$.

Ce que cela signifie : comme $OM = 1$, on a $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ pour tout réel $t$, et comme un tour mesure $2\pi$, les deux fonctions sont périodiques de période $2\pi$. Une seconde figure reporte $t$ en abscisse : les coordonnées de $M$ dessinent les courbes du cosinus et du sinus, la seconde étant la première décalée de $\dfrac{\pi}{2}$. Une troisième partie place le point associé à $-t$, $\pi - t$, $\pi + t$, $\dfrac{\pi}{2} - t$ ou $\dfrac{\pi}{2} + t$, et fait lire les formules sur la symétrie qui relie les deux points.

Le piège le plus courant est l'erreur de signe : $\cos(\pi - t) = -\cos t$, mais $\sin(\pi - t) = \sin t$. L'autre est l'unité : $t$ est une longueur d'arc, donc un nombre de radians, et une calculatrice réglée en degrés donne $\cos 3 \approx 0{,}9986$ au lieu de $\cos 3 \approx -0{,}9900$.