Multiplier par un nombre complexe

Multiplier par un nombre complexe, c'est tourner et agrandir : les arguments s'ajoutent, les modules se multiplient. Les puissances dessinent une spirale et, sur le cercle unité, les racines de l'unité forment un polygone régulier.

On règle le module et l'argument de deux nombres complexes $z$ et $w$, ou l'on déplace leurs points, et la page place le point d'affixe $zw$, calculé par $(a + \mathrm i b)(c + \mathrm i d) = (ac - bd) + \mathrm i(ad + bc)$. Les triangles de sommets $0, 1, z$ et $0, w, zw$ ont toujours la même forme.

Ce que cela signifie : $|zw| = |z| \times |w|$ et $\arg(zw) = \arg z + \arg w$ à un multiple de $2\pi$ près ; multiplier par $w$, c'est appliquer la rotation d'angle $\arg w$ suivie de l'agrandissement de rapport $|w|$. Les puissances de $z$ dessinent donc une spirale, qui s'éloigne si $|z| > 1$ et s'enroule vers $0$ si $|z| < 1$. Si $|z| = 1$ et si $\arg z = \dfrac{2\pi}{n}$, les puissances de $z$ sont les $n$ sommets d'un polygone régulier : les racines $n$-ièmes de l'unité, solutions de $z^n = 1$.

Le piège le plus courant est d'intervertir les deux règles : pour $z = w = \mathrm i$, le produit $\mathrm i^2 = -1$ a pour module $1 \times 1 = 1$, et non $2$, et pour argument $\dfrac\pi2 + \dfrac\pi2 = \pi$. L'autre oubli est que $z^n = 1$ a $n$ solutions dans $\mathbb C$.