Les chapeaux mélangés

Chacun reprend un chapeau au hasard : quelle est la probabilité que personne ne retrouve le sien ? On mélange, on compte les dérangements par une récurrence, et l'on voit la probabilité se fixer très vite près de $1/\mathrm e$.

On choisit le nombre $n$ de personnes, de $2$ à $12$, on mélange les chapeaux ou l'on en échange deux, et la page signale les points fixes, c'est-à-dire les personnes qui ont retrouvé le leur. Elle donne le nombre $D_n$ de permutations sans point fixe (les dérangements), calculé par la récurrence $D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$, démontrée dans la page, et la proportion $\dfrac{D_n}{n!}$.

Ce que cela signifie : $D_n = n!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^k}{k!}$, de sorte que la probabilité que personne ne retrouve son chapeau tend vers $\dfrac1{\mathrm e} \approx 0{,}3679$, avec un écart inférieur à $\dfrac{1}{(n+1)!}$. On trouve $D_3 = 2$, $D_4 = 9$, $D_5 = 44$, $D_6 = 265$, et $\dfrac{D_6}{6!} \approx 0{,}3681$. Le nombre moyen de points fixes vaut exactement $1$ pour tout $n$.

Le piège le plus courant est de traiter les personnes comme indépendantes et d'annoncer $\left(1 - \dfrac1n\right)^n$ : pour $n = 3$, cela donne $\dfrac{8}{27} \approx 0{,}296$ au lieu de $\dfrac26 \approx 0{,}333$. Les deux expressions ont la même limite, ce qui masque l'erreur.