Droites et plans de l'espace

Un plan se décrit par son vecteur normal, une droite par son vecteur directeur. On règle l'un et l'autre, on fait tourner la vue, et un produit scalaire dit si la droite coupe le plan, où, et à quelle distance du plan se trouve un point.

On règle les coefficients du plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et le vecteur directeur $\vec u$ d'une droite passant par un point $A$. La page dessine le plan, son vecteur normal $\vec n(a\,;b\,;c)$, la droite, leur point d'intersection $I$ et le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan, dans une vue que l'on fait tourner ; elle calcule $\vec n \cdot \vec u$ et la distance de $A$ au plan.

Ce que cela signifie : un point $A + t\vec u$ de la droite est dans le plan quand $t\,(\vec n \cdot \vec u) = -(ax_A + by_A + cz_A + d)$. Si $\vec n \cdot \vec u \neq 0$, la droite coupe le plan en un point ; sinon elle lui est parallèle, ou y est contenue. Pour le plan $x + y + 2z - 4 = 0$, le point $A(1\,;2\,;3)$ et $\vec u(0\,;-0{,}5\,;-1)$, on trouve $\vec n \cdot \vec u = -2{,}5$, $I(1\,;1\,;1)$, et la distance de $A$ au plan vaut $\dfrac{5}{\sqrt6} \approx 2{,}041$.

Le piège le plus courant est de confondre vecteur directeur et vecteur normal : la droite est parallèle au plan quand $\vec u$ est orthogonal à $\vec n$, et perpendiculaire au plan quand $\vec u$ est colinéaire à $\vec n$.