La loi des grands nombres

On répète une épreuve de probabilité $p$ et l'on regarde la fréquence des succès entrer dans un entonnoir qui se resserre autour de $p$. Et l'on constate que l'écart du nombre de succès, lui, ne se resserre pas : le hasard dilue, il ne compense pas.

On règle $p$ et l'on ajoute des épreuves indépendantes par paquets de $10$ à $10\,000$, jusqu'à $100\,000$. La page trace la fréquence $\dfrac{S_n}{n}$ des succès en fonction de $n$ (échelle logarithmique), la zone $p \pm \dfrac{2\sigma}{\sqrt n}$ avec $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$, garde les séries précédentes en gris, et donne les deux écarts $\dfrac{S_n}{n} - p$ et $S_n - np$.

Ce que cela signifie : $\dfrac{S_n}{n}$ a pour espérance $p$ et pour écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P\left(\left|\dfrac{S_n}{n} - p\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{p(1-p)}{n\delta^2}$, qui tend vers $0$. Pour $p = 0{,}5$, elle garantit une fréquence à moins de $0{,}05$ de $p$ avec une probabilité d'au moins $95\ \%$ dès $n = 2\,000$, et à moins de $0{,}01$ dès $n = 50\,000$.

Le piège le plus courant est de croire à une compensation : après cinq piles, face ne devient pas plus probable. L'écart $S_n - np$ est de l'ordre de $\sigma\sqrt n$, qui grandit ($50$ pour $n = 10\,000$ et $p = 0{,}5$) ; la fréquence converge parce que cet écart est divisé par $n$.