La limite d'une suite

Une bande de tolérance autour d'une limite proposée, un rang à partir duquel plus aucun terme n'en sort : la définition de la convergence se joue contre un adversaire qui choisit la bande.

On choisit une suite parmi cinq, une limite proposée $\ell$ et une tolérance $\varepsilon > 0$. Elles dessinent la bande $]\ell-\varepsilon\,;\ \ell+\varepsilon[$, et la page indique le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes restent dans la bande, ou signale qu'aucun rang ne convient. Pour $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ et $\ell = 2$, on lit $N = 3$ pour $\varepsilon = 0{,}5$, puis $N = 11$ pour $\varepsilon = 0{,}1$ et $N = 101$ pour $\varepsilon = 0{,}01$ : le rang dépend de la tolérance.

Ce que cela signifie : la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$, $|u_n - \ell| < \varepsilon$. Un jeu en trois manches fait pratiquer l'ordre des quantificateurs : un adversaire choisit $\varepsilon$, on répond par un rang, ou l'on affirme qu'aucun rang ne convient.

Le piège le plus courant est de croire que quelques bandes gagnées prouvent la convergence. Avec la mauvaise limite $\ell = 2{,}3$, la bande large $\varepsilon = 0{,}5$ contient tous les termes à partir du rang $6$, mais dès que $\varepsilon < 0{,}3$ une infinité de termes lui échappent. À l'inverse, une seule bande sans rang possible suffit à réfuter : la suite $u_n = 2 + (-1)^n$ ne converge vers aucun réel.