Le nombre e

Parmi les courbes $y = a^x$, une seule a une tangente de pente $1$ en $0$ : on cherche sa base à la main, puis on compare deux suites qui tendent vers ce nombre, l'une très lentement, l'autre à toute allure.

On fait varier la base $a$ de la fonction $x \mapsto a^x$ et l'on regarde pivoter sa tangente au point $(0\,;1)$, dont la pente est $\ln a$ : elle vaut $1$ pour $a = \mathrm e \approx 2{,}718$. La page compare ensuite deux suites de limite $\mathrm e$ : $\left(1 + \dfrac1n\right)^n$, pour $n$ de $1$ à $10^6$, et $1 + \dfrac1{1!} + \dfrac1{2!} + \dots + \dfrac1{m!}$, pour $m$ de $0$ à $17$.

Ce que cela signifie : la première suite converge lentement, son écart avec $\mathrm e$ étant voisin de $\dfrac{\mathrm e}{2n}$ : $2{,}5937$ pour $n = 10$, $2{,}7048$ pour $n = 100$, $2{,}7169$ pour $n = 1\,000$, et seulement cinq décimales exactes pour $n = 10^6$. La seconde atteint cette précision dès $m = 9$ et quinze décimales pour $m = 17$, parce que les factorielles croissent plus vite que toute suite géométrique.

Le piège le plus courant est le raisonnement « $1 + \dfrac1n$ tend vers $1$, et $1$ à toute puissance vaut $1$, donc la limite est $1$ » : la base et l'exposant varient ensemble, la forme $1^\infty$ est indéterminée, et la limite est $\mathrm e$. Une machine commet la même erreur pour $n = 10^{16}$, où elle arrondit $1 + \dfrac1n$ à $1$.