Le produit scalaire

Deux vecteurs, un nombre, trois façons de le calculer : par les coordonnées, par les longueurs et l'angle, par un projeté. Son signe dit si l'angle est aigu ou obtus, et il s'annule exactement quand les vecteurs sont orthogonaux.

On déplace les extrémités $A$ et $B$ de deux vecteurs $\vec u = \overrightarrow{OA}$ et $\vec v = \overrightarrow{OB}$, dont les coordonnées avancent par pas de $0{,}05$, et la page calcule $\vec u \cdot \vec v$ de trois façons : $xx' + yy'$, puis $\|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos\theta$, puis $OA \times OH$ compté avec son signe, où $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Pour $\vec u(4\,;1)$ et $\vec v(1{,}5\,;3)$, les trois calculs donnent $9$.

Ce que cela signifie : le produit scalaire de deux vecteurs non nuls a le signe de $\cos\theta$, positif pour un angle aigu, négatif pour un angle obtus, et il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux ; dans un repère orthonormé, cela se teste par $xx' + yy' = 0$. La troisième expression montre que déplacer $B$ perpendiculairement à $(OA)$ ne change pas le produit scalaire, puisque $H$ ne bouge pas.

Le piège le plus courant est de traiter le produit scalaire comme un produit de nombres. Il peut être nul sans qu'aucun des deux vecteurs le soit : $(3\,;2) \cdot (-2\,;3) = -6 + 6 = 0$. On ne peut donc pas simplifier par $\vec u$ dans une égalité $\vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \vec w$.