Suites récurrentes : la toile d'araignée

Une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ se construit avec la courbe de $f$ et la droite $y = x$. L'escalier ou la spirale obtenus disent si elle converge, et la pente de $f$ au point fixe explique pourquoi.

On choisit une fonction $f$ (affine de pente réglable, cosinus, ou $x \mapsto rx(1-x)$) et un premier terme $u_0$. La page construit les termes de la suite $u_{n+1} = f(u_n)$ en allant verticalement jusqu'à la courbe de $f$, puis horizontalement jusqu'à la droite $y = x$, et affiche leurs valeurs. Pour $f = \cos$, quel que soit $u_0$, les termes s'enroulent autour du point d'abscisse $\ell \approx 0{,}7391$.

Ce que cela signifie : si la suite converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$ ; les limites possibles sont les points fixes de $f$. Près d'un point fixe, tout dépend de $f'(\ell)$ : la suite avance en escalier si $f'(\ell) > 0$, en spirale si $f'(\ell) < 0$, et elle converge vers $\ell$ dès que $u_0$ en est assez proche lorsque $|f'(\ell)| < 1$. Pour $x \mapsto rx(1-x)$, le point fixe $1 - \dfrac1r$ a pour pente $2 - r$ : il attire pour $1 < r < 3$ et repousse pour $r > 3$.

Le piège le plus courant est de croire qu'un point fixe suffit. Pour $f(x) = -1{,}2\,(x - 0{,}5) + 0{,}5$, le point fixe est $0{,}5$, mais $u_n - 0{,}5 = (-1{,}2)^n (u_0 - 0{,}5)$ : la suite s'en éloigne dès que $u_0 \neq 0{,}5$.