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Définition 2Syntaxe du premier ordre

Quantificateurs

Les quantificateurs ne portent que sur les éléments du domaine, jamais sur ses parties ni sur les propriétés : c'est ce qui définit le premier ordre. Leur sens précis, qui fait parcourir à xx tous les éléments d'une structure, est donné par la définition de la satisfaction.

Énoncé

Pour chaque variable xx, le mot ∀x\forall x est un quantificateur universel. Les formules, définies au nœud suivant à l'aide des connecteurs et de ces quantificateurs, lui donnent son rôle : placé devant une formule φ\varphi, il forme ∀x φ\forall x\, \varphi, lu « pour tout xx, φ\varphi ». Le quantificateur existentiel est une abréviation : ∃x φ\exists x\, \varphi désigne ¬∀x ¬φ\neg \forall x\, \neg\varphi, lu « il existe xx tel que φ\varphi ».

Remarque

L'ordre des quantificateurs compte. ∀x ∃y (x<y)\forall x\, \exists y\, (x < y) dit que tout élément a un élément plus grand, ce qui est vrai dans ℕ\mathbb N ; ∃y ∀x (x<y)\exists y\, \forall x\, (x < y) dit qu'un même élément les dépasse tous, ce qui y est faux. Les définitions de la continuité et de la continuité uniforme, au graphe Continuité, ne diffèrent que par cet ordre.

Repose sur

Langage, signature

Sert à

Formules, variables libres
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