Exercice 1

On suit l'ordre NADA : neutres, groupe abélien additif, distributivité, associativité multiplicative.

1. L'ensemble $(\mathbb{N} \,;+)$ n'est pas un groupe, puisque $3$ n'y admet pas d'opposé. $$\boxed{\text{Ce n'est pas un anneau : l'axiome \textbf{A} échoue.}}$$

2. Les quatre axiomes sont vérifiés, et la multiplication est commutative : $$\boxed{(\mathbb{Z} \,;+\,;\times) \text{ est un anneau commutatif, de neutres } 0 \text{ et } 1.}$$

3. L'ensemble $(2\mathbb{Z} \,;+)$ est bien un groupe abélien, et la multiplication y est interne, associative et distributive. Mais $1 \notin 2\mathbb{Z}$ : $$\boxed{\text{Ce n'est pas un anneau : il n'y a pas de neutre multiplicatif.}}$$

4. On procède de la même manière, la multiplication des rationnels étant commutative : $$\boxed{(\mathbb{Q} \,;+\,;\times) \text{ est un anneau commutatif.}}$$

5. Les quatre axiomes se vérifient point par point, à partir de ceux de $\mathbb{R}$. Les neutres sont la fonction nulle et la fonction constante égale à $1$. $$\boxed{\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\,;\times\big) \text{ est un anneau commutatif.}}$$

6. De même, coordonnée par coordonnée, avec pour neutres $(0\,;0)$ et $(1\,;1)$. $$\boxed{\big(\mathbb{R}^{2} \,;+\,;\times\big) \text{ est un anneau commutatif.}}$$

7. D'après le chapitre 3, $\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\big)$ est un groupe abélien de neutre $\varnothing$. L'intersection est associative, commutative, de neutre $E$, et elle est distributive sur $\Delta$ : pour $x \in E$, appartenir à $A \cap (B \,\Delta\, C)$ signifie appartenir à $A$ et à exactement l'un des deux ensembles $B$ et $C$, c'est-à-dire à exactement l'un des deux ensembles $A \cap B$ et $A \cap C$. $$\boxed{\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\,;\cap\big) \text{ est un anneau commutatif, dès que } E \neq \varnothing.}$$ La restriction $E \neq \varnothing$ est nécessaire : sinon $\mathcal{P}(E)=\{\varnothing\}$ et les deux neutres coïncideraient, ce que la définition interdit.