Exercice 2

1. On part de $0_{A}=0_{A}+0_{A}$ et l'on multiplie par $x$, en utilisant la distributivité : $$0_{A} \times x = \big(0_{A}+0_{A}\big) \times x = 0_{A} \times x + 0_{A} \times x$$ Comme $(A\,;+)$ est un groupe, on peut simplifier par $0_{A} \times x$ : $$\boxed{0_{A} \times x = 0_{A}}$$

2. On calcule, en utilisant la distributivité puis la question 1 : $$xy+(-x)y = \big(x+(-x)\big)y = 0_{A} \times y = 0_{A}$$ donc $(-x)y$ est l'opposé de $xy$ : $$\boxed{(-x)y=-(xy)}$$ En appliquant deux fois ce résultat : $(-x)(-y)=-\big(x(-y)\big)=-\big(-(xy)\big)$, d'où : $$\boxed{(-x)(-y)=xy}$$

3. On développe sans jamais échanger l'ordre des facteurs : $$\boxed{(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}} \qquad\qquad \boxed{(x+y)(x-y)=x^{2}-xy+yx-y^{2}}$$

4. Les deux termes centraux se regroupent en $2xy$ et se simplifient en $0_{A}$ précisément lorsque $xy=yx$. $$\boxed{\text{Les identités remarquables usuelles ne valent que si } x \text{ et } y \text{ commutent.}}$$ Piège : c'est en particulier le cas dans tout anneau commutatif, mais pas dans l'anneau des matrices carrées.