Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 5

Structures algébriques

22 exercices corrigés · 7 11 3

Anneaux : définition et calculs

Exercice 1 Les ensembles suivants, munis des deux lois indiquées, sont-ils des anneaux ? Le cas échéant, préciser s'ils sont commutatifs; sinon, indiquer quel…
Exercice 2 Soit (A;+;×) un anneau, de neutres 0_A et 1_A, et soient x et y deux éléments de A. 1. Démontrer que 0_A × x = 0_A. On pourra partir de 0_A=0_A+0_A.…
Exercice 3 On rappelle qu'un élément x non nul d'un anneau A est un diviseur de zéro lorsqu'il existe y non nul dans A tel que xy=0_A. 1. Exhiber deux…
Exercice 4 Soit A un anneau dans lequel x^2=x pour tout x ∈ A. Un tel anneau est dit de Boole. 1. En développant (x+x)^2, démontrer que x+x=0_A pour tout x ∈…
Exercice 5 Un élément x d'un anneau A est dit nilpotent lorsqu'il existe un entier n ≥ 1 tel que x^n=0_A. Dans les trois premières questions, l'anneau A est…

Exercice 6 Dans chaque cas, déterminer si la partie B est un sous-anneau de l'anneau A. On utilisera la caractérisation de la proposition 1. 1. A=ℤ et B=2ℤ. 2.…
Exercice 7 On appelle entiers de Gauss les nombres complexes de la forme a+ ib avec (a;b) ∈ ℤ^2, et l'on note ℤ[ i] leur ensemble. 1. Démontrer que (ℤ[ i];+;×)…
Exercice 8 On considère l'ensemble des rationnels admettant une écriture à dénominateur impair: A= m/n middle | m ∈ ℤ, n ∈ 2ℕ+1 1. Démontrer que A est un…
Exercice 9 Soient B et C deux sous-anneaux d'un anneau A. 1. Démontrer que B ∩ C est un sous-anneau de A. 2. On prend A=ℚ^2, muni des lois coordonnée par…

Exercice 10 1. Effectuer les calculs suivants dans ℤ/7ℤ: (a) overline 5+overline 4 (b) overline 3 × overline 5 (c) overline 6^(2) (d) overline 2^(5) 2.…
Exercice 11 1. Dresser la table de multiplication de ℤ/8ℤ. 2. En déduire la liste des éléments inversibles de ℤ/8ℤ, ainsi que l'inverse de chacun. Que…
Exercice 12 Résoudre les équations suivantes, d'inconnue overline x. 1. overline 3 overline x=overline 2 dans ℤ/7ℤ 2. overline 3 overline x=overline 0 dans…
Exercice 13 1. Donner la liste des éléments de ℤ/7ℤ qui sont des carrés. Combien y en a-t-il ? 2. Soit overline a un élément de ℤ/7ℤ. Déterminer le nombre…

Exercice 14 Les anneaux suivants sont-ils des corps ? Justifier, en exhibant le cas échéant un élément non nul non inversible. 1. (ℤ;+;×) 2. (ℚ;+;×) 3. ℤ/5ℤ 4.…
Exercice 15 Démontrer que les deux ensembles suivants, munis de l'addition et de la multiplication usuelles, sont des corps. 1. ℚ[ i]= a+ ib | (a;b) ∈ ℚ^2. 2. ℚ…
Exercice 16 Soit n ≥ 2 un entier. On admet le théorème de Bézout: deux entiers x et n sont premiers entre eux si et seulement s'il existe (u;v) ∈ ℤ^2 tel que…

Exercice 17 Les applications suivantes sont-elles des morphismes d'anneaux ? Justifier, en précisant le cas échéant laquelle des trois conditions échoue. 1. z ↦…
Exercice 18 Soit φ: (A;+;×) longrightarrow (B;oplus;otimes) un morphisme d'anneaux, et Ker φ = x ∈ A mid φ(x)=0_B. 1. Démontrer que Ker φ est un sous-groupe de…
Exercice 19 Soit (A;+;×) un anneau, et φ: ℤ → A un morphisme d'anneaux. Pour n ∈ ℕ, on note n · 1_A la somme 1_A+…+1_A comportant n termes, avec la convention 0…

Exercice 20 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 1. Dans un anneau, un produit peut être nul sans qu'aucun de ses…
Exercice 21 On note M l'ensemble des matrices carrées de taille 2 à coefficients réels, muni de l'addition terme à terme et du produit défini par: begin pmatrix…
Exercice 22 Soit A un anneau commutatif fini, ne possédant aucun diviseur de zéro. 1. Soit a un élément non nul de A. Démontrer que l'application m_a: x ↦ ax,…