Exercice 20 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Ce sont les diviseurs de zéro, signalés par le cours et rencontrés dans $\mathbb{R}^{2}$, $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ et $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ (exercice 3).

2. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Seule l'addition est supposée commutative dans la définition. L'anneau des matrices carrées de l'exercice 21 en est un contre-exemple.

3. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'ensemble $2\mathbb{Z}$ ne contient pas $1$ : la première condition de la proposition 1 échoue (exercice 6).

4. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est exactement la définition du cours.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est le théorème 1, redémontré de deux façons aux exercices 16 et 22.

6. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Un élément inversible n'est jamais diviseur de zéro (exercice 3), et dans un corps tout élément non nul l'est.

7. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'application $x \mapsto (x\,;0)$ de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}^{2}$ est additive et multiplicative, mais envoie $1$ sur $(1\,;0) \neq (1\,;1)$. La condition doit donc être exigée à part.

8. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Il ne contient jamais $1_{A}$ (exercice 18). C'est un idéal, ce qui est une autre notion.

9. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Le développement donne $x^{2}+xy+yx+y^{2}$, et les deux termes centraux se regroupent lorsque $xy=yx$ (exercice 2).

10. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'ensemble $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau du corps $\mathbb{Q}$, sans être un corps : $2$ n'y est pas inversible.