Exercice 21

1. La matrice identité s'obtient pour $a=1$ et $b=0$, donc $I_{2} \in \mathcal{C}$. Soient ensuite deux éléments de $\mathcal{C}$. Leur différence vaut : $$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a-c & -(b-d) \\ b-d & a-c \end{pmatrix}$$ qui est encore de la forme voulue. Quant au produit, la formule donnée fournit : $$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix}$$

2. Les deux coefficients $ac-bd$ et $ad+bc$ du produit sont inchangés lorsqu'on échange le couple $(a\,;b)$ et le couple $(c\,;d)$. $$\boxed{\mathcal{C} \text{ est commutatif, bien que } \mathcal{M} \text{ ne le soit pas.}}$$

3. Soit $M$ un élément non nul de $\mathcal{C}$, c'est-à-dire $(a\,;b) \neq (0\,;0)$. Posons $N=a^{2}+b^{2}>0$ et considérons : $$M'=\begin{pmatrix} \frac{a}{N} & \frac{b}{N} \\ -\frac{b}{N} & \frac{a}{N} \end{pmatrix}$$ qui appartient à $\mathcal{C}$, avec les coefficients $\frac{a}{N}$ et $-\frac{b}{N}$. Le produit vaut : $$M \times M' = \begin{pmatrix} \frac{a^{2}+b^{2}}{N} & \frac{-ab+ab}{N} \\ \frac{ab-ab}{N} & \frac{a^{2}+b^{2}}{N} \end{pmatrix} = I_{2}$$ Comme $\mathcal{C}$ est commutatif, le produit dans l'autre ordre donne le même résultat. $$\boxed{\mathcal{C} \text{ est un anneau commutatif dont tout élément non nul est inversible : c'est un corps.}}$$

4. L'application $\phi$ est bijective, de réciproque $a+\mathrm{i}b \mapsto \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$. Elle est additive d'après le calcul de la question 1, et l'on vérifie qu'elle respecte le produit : $$\phi\big(M \times M'\big)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)=(a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=\phi(M) \times \phi(M')$$ Enfin $\phi(I_{2})=1$. $$\boxed{\phi \text{ est un isomorphisme d'anneaux de } \mathcal{C} \text{ sur } \mathbb{C}.}$$ Les nombres complexes admettent donc une réalisation matricielle : la multiplication par $a+\mathrm{i}b$ dans $\mathbb{C}$ n'est autre que cette matrice, qui est d'ailleurs celle d'une similitude directe du plan.