Exercice 22

1. Soient $x$ et $y$ dans $A$ tels que $m_{a}(x)=m_{a}(y)$, c'est-à-dire $ax=ay$. Alors, par distributivité : $$a(x-y)=ax-ay=0_{A}$$ Comme $a \neq 0_{A}$ et que $A$ ne possède aucun diviseur de zéro, il vient $x-y=0_{A}$. $$\boxed{m_{a} \text{ est injective.}}$$

2. L'application $m_{a}$ est une application injective de l'ensemble fini $A$ dans lui-même. D'après la question 4 de l'exercice 17 du chapitre 4, elle est donc surjective. $$\boxed{m_{a} \text{ est surjective.}}$$

3. En particulier, $1_{A}$ possède un antécédent : il existe $b \in A$ tel que $ab=1_{A}$, et $ba=1_{A}$ par commutativité. Ainsi tout élément non nul de $A$ est inversible, et $A$ est un anneau commutatif non nul. $$\boxed{A \text{ est un corps.}}$$

4. Soient $\overline{x}$ et $\overline{y}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ tels que $\overline{x}\,\overline{y}=\overline{0}$ avec $\overline{x} \neq \overline{0}$. L'égalité signifie que $p$ divise $xy$, donc, par le lemme d'Euclide, que $p$ divise $x$ ou $p$ divise $y$. Le premier cas donnerait $\overline{x}=\overline{0}$, ce qui est exclu : donc $p$ divise $y$, c'est-à-dire $\overline{y}=\overline{0}$. $$\boxed{\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ ne possède aucun diviseur de zéro lorsque } p \text{ est premier.}}$$

5. L'anneau $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est commutatif, fini — il compte $p$ éléments — et sans diviseur de zéro d'après la question 4. Les questions 1 à 3 s'appliquent donc. $$\boxed{\text{Si } p \text{ est premier, alors } \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ est un corps.}}$$ Cette démonstration n'utilise pas le théorème de Bézout, contrairement à celle du cours et à celle de l'exercice 16 : elle repose uniquement sur la finitude de l'anneau et sur le lemme d'Euclide.