Exercice 19

1. Initialisation. On a $\varphi(0)=0_{A}$ puisque $\varphi$ est un morphisme de groupes additifs, et $0 \cdot 1_{A}=0_{A}$ par convention.

Hérédité. Supposons $\varphi(n)=n \cdot 1_{A}$. Alors : $$\varphi(n+1)=\varphi(n)+\varphi(1)=n \cdot 1_{A}+1_{A}=(n+1) \cdot 1_{A}$$ en utilisant $\varphi(1)=1_{A}$, qui fait partie de la définition d'un morphisme d'anneaux.

Extension à $\mathbb{Z}$. Pour $n<0$, la propriété 1 du chapitre 4 donne : $$\varphi(n)=\varphi\big(-(-n)\big)=-\varphi(-n)=-\big((-n) \cdot 1_{A}\big)=n \cdot 1_{A}$$

2. L'expression obtenue ne dépend que de l'anneau $A$, et nullement du morphisme choisi : deux morphismes d'anneaux de $\mathbb{Z}$ dans $A$ coïncident donc en tout point. $$\boxed{\text{Il existe au plus un morphisme d'anneaux de } \mathbb{Z} \text{ dans } A.}$$ Remarque : on vérifie sans peine que $n \mapsto n \cdot 1_{A}$ en est effectivement un. L'anneau $\mathbb{Z}$ occupe donc une place particulière : il se envoie d'une unique façon dans n'importe quel anneau.

3. Pour $A=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, le neutre est $\overline{1}$ et $k \cdot \overline{1}=\overline{k}$ : le morphisme est la réduction modulo $n$. Pour $A=\mathbb{R}$, le neutre est $1$ et $k \cdot 1=k$ : le morphisme est l'inclusion de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{R}$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi = n\mathbb{Z} \text{ dans le premier cas} \qquad \mathrm{Ker}\, \varphi = \{0\} \text{ dans le second.}}$$