Exercice 18

1. L'application $\varphi$ étant en particulier un morphisme du groupe $(A\,;+)$ dans le groupe $(B\,;\oplus)$, la proposition 3 du chapitre 4 s'applique directement. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi \text{ est un sous-groupe de } (A \,;+).}$$

2. Soient $x \in \mathrm{Ker}\, \varphi$ et $a \in A$. Alors : $$\varphi(ax)=\varphi(a) \otimes \varphi(x)=\varphi(a) \otimes 0_{B}=0_{B}$$ la dernière égalité venant de la question 1 de l'exercice 2, appliquée dans l'anneau $B$. Le calcul est identique pour $xa$. $$\boxed{\forall x \in \mathrm{Ker}\, \varphi, \; \forall a \in A, \quad ax \in \mathrm{Ker}\, \varphi \text{ et } xa \in \mathrm{Ker}\, \varphi.}$$ Une partie vérifiant ces propriétés s'appelle un idéal de $A$ : elle est bien plus que stable, elle est absorbante.

3. Un sous-anneau doit contenir $1_{A}$. Or $1_{A} \in \mathrm{Ker}\, \varphi$ signifierait $\varphi(1_{A})=0_{B}$, alors que $\varphi(1_{A})=1_{B}$ par définition d'un morphisme d'anneaux. Il faudrait donc $1_{B}=0_{B}$, ce que la définition d'un anneau interdit. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \varphi \text{ n'est jamais un sous-anneau de } A.}$$

4. Pour la réduction modulo $n$, on a $\overline{x}=\overline{0}$ si et seulement si $n$ divise $x$. Pour l'évaluation en $a$, on cherche les fonctions d'image nulle en $a$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \pi = n\mathbb{Z} \qquad\text{et}\qquad \mathrm{Ker}\,\big(f \mapsto f(a)\big)=\big\{f \in \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \;\big|\; f(a)=0\big\}}$$ Le premier noyau justifie la notation $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : c'est le quotient de $\mathbb{Z}$ par l'idéal $n\mathbb{Z}$.