Exercice 17

Trois conditions sont à vérifier : $\varphi$ est un morphisme pour l'addition, $\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$, et $\varphi(1_{A})=1_{B}$.

1. La conjugaison respecte la somme et le produit, et $\overline{1}=1$. $\boxed{\text{Morphisme d'anneaux.}}$

2. C'est exactement la proposition 2 du cours, qui définit les deux lois de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par $\overline{x}+\overline{y}=\overline{x+y}$ et $\overline{x}\,\overline{y}=\overline{xy}$, et l'on a $\overline{1}=1_{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$. $\boxed{\text{Morphisme d'anneaux.}}$

3. On a $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$, $(fg)(a)=f(a)g(a)$, et la fonction constante égale à $1$ vaut $1$ en $a$. $\boxed{\text{Morphisme d'anneaux.}}$

4. L'application est additive, mais $\varphi(1)=2 \neq 1$. $\boxed{\text{Non : la condition sur } 1 \text{ échoue.}}$

5. On a $|1+(-1)|=0$ alors que $|1|+|-1|=2$. $\boxed{\text{Non : l'application n'est pas additive.}}$

6. On a $\varphi(x+y)=(x+y\,;x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$, $\varphi(xy)=(xy\,;xy)=\varphi(x)\varphi(y)$, et $\varphi(1)=(1\,;1)=1_{\mathbb{Z}^{2}}$. $\boxed{\text{Morphisme d'anneaux.}}$

7. L'application est additive et multiplicative, car $(x\,;0)(y\,;0)=(xy\,;0)$. Mais $\varphi(1)=(1\,;0)$, alors que le neutre de $\mathbb{Z}^{2}$ est $(1\,;1)$. $\boxed{\text{Non : la condition sur } 1 \text{ échoue.}}$

8. On a $\varphi(1+1)=4$ alors que $\varphi(1)+\varphi(1)=2$. $\boxed{\text{Non : l'application n'est pas additive.}}$

Piège de la question 7 : cette application satisfait les deux conditions portant sur les lois, et échoue uniquement sur $\varphi(1_{A})=1_{B}$. C'est la meilleure justification de la remarque du cours : cette condition doit être exigée séparément, car elle ne se déduit pas des autres.