Exercice 16

1. La classe $\overline{x}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement s'il existe $\overline{u}$ tel que $\overline{x}\,\overline{u}=\overline{1}$, c'est-à-dire : $$\exists u \in \mathbb{Z}, \; xu \equiv 1 \; [n] \iff \exists (u\,;v) \in \mathbb{Z}^{2}, \; xu=1+(-v)n \iff \exists (u\,;v) \in \mathbb{Z}^{2}, \; xu+nv=1$$ et le théorème de Bézout identifie cette dernière condition à la primalité entre $x$ et $n$. $$\boxed{\overline{x} \text{ est inversible dans } \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \iff x \text{ et } n \text{ sont premiers entre eux.}}$$

2. Les entiers de $[\![0\,;9]\!]$ premiers avec $10$ sont $1$, $3$, $7$ et $9$. On cherche les inverses en balayant les produits : $$\overline{1} \times \overline{1}=\overline{1} \qquad \overline{3} \times \overline{7}=\overline{21}=\overline{1} \qquad \overline{9} \times \overline{9}=\overline{81}=\overline{1}$$

3. Soit $\overline{x}$ non nul et non inversible. D'après la question 1, $x$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux : notons $d>1$ leur plus grand diviseur commun. Posons $y=\dfrac{n}{d}$, qui est un entier vérifiant $1 \leqslant y < n$, donc $\overline{y} \neq \overline{0}$. Comme $d$ divise $x$ : $$xy = x \times \frac{n}{d} = \frac{x}{d} \times n \equiv 0 \; [n]$$

$$\boxed{\overline{x}\,\overline{y}=\overline{0} \text{ avec } \overline{y} \neq \overline{0} \text{ : la classe } \overline{x} \text{ est un diviseur de zéro.}}$$ Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, tout élément non nul est donc soit inversible, soit diviseur de zéro : il n'y a pas de troisième possibilité.

4. D'après la question 1, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps si et seulement si tout entier $x$ de $[\![1\,;n-1]\!]$ est premier avec $n$, c'est-à-dire si $n$ n'admet aucun diviseur strictement compris entre $1$ et $n$. $$\boxed{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ est un corps si et seulement si } n \text{ est premier.}}$$