Exercice 15

1. Sous-anneau de $\mathbb{C}$. On a $1=1+\mathrm{i} \times 0 \in \mathbb{Q}[\mathrm{i}]$, et les calculs de l'exercice 7 restent valables avec des coefficients rationnels : $$(a+\mathrm{i}b)-(c+\mathrm{i}d)=(a-c)+\mathrm{i}(b-d) \qquad (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)$$

Commutativité. Elle est héritée de $\mathbb{C}$.

Inversibles. Soit $z=a+\mathrm{i}b$ non nul, c'est-à-dire $(a\,;b) \neq (0\,;0)$. Alors $a^{2}+b^{2}$ est un rationnel strictement positif, et : $$\frac{1}{a+\mathrm{i}b}=\frac{a-\mathrm{i}b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-\mathrm{i}\,\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$$ dont les deux coefficients sont rationnels. $$\boxed{\mathbb{Q}[\mathrm{i}] \text{ est un corps.}}$$

2. Sous-anneau de $\mathbb{R}$. On a $1=1+0\sqrt{d}$, et : $$\big(a+b\sqrt{d}\,\big)-\big(c+e\sqrt{d}\,\big)=(a-c)+(b-e)\sqrt{d} \qquad \big(a+b\sqrt{d}\,\big)\big(c+e\sqrt{d}\,\big)=(ac+d\,be)+(ae+bc)\sqrt{d}$$

Inversibles. Soit $x=a+b\sqrt{d}$ non nul. Montrons d'abord que $a^{2}-db^{2} \neq 0$. Supposons le contraire.

• Si $b=0$, alors $a^{2}=0$, donc $a=0$ et $x=0$ : exclu.

• Si $b \neq 0$, alors $d=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2}$, donc $\sqrt{d}=\left|\dfrac{a}{b}\right| \in \mathbb{Q}$, ce qui contredit l'hypothèse.

Le dénominateur ne s'annule donc jamais, et l'on peut écrire : $$\frac{1}{a+b\sqrt{d}}=\frac{a-b\sqrt{d}}{a^{2}-db^{2}}=\frac{a}{a^{2}-db^{2}}-\frac{b}{a^{2}-db^{2}}\sqrt{d}$$

$$\boxed{\mathbb{Q}\big[\sqrt{d}\,\big] \text{ est un corps.}}$$ Piège : l'hypothèse $\sqrt{d} \notin \mathbb{Q}$ n'est pas décorative. Sans elle, $a^{2}-db^{2}$ pourrait s'annuler pour un $x$ non nul — et de fait, si $\sqrt{d}$ était rationnel, l'ensemble se réduirait à $\mathbb{Q}$.