ExerciceMaths approfondies, chapitre 5 — Structures algébriques · Corps

Exercice 14

Démonstration

Les anneaux suivants sont-ils des corps ? Justifier, en exhibant le cas échéant un élément non nul non inversible.

1. $(\mathbb{Z} \,;+\,;\times)$

2. $(\mathbb{Q} \,;+\,;\times)$

3. $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

4. $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$

5. $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$

6. $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$

7. $\big(\mathbb{R}^{2} \,;+\,;\times\big)$

8. $\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\,;\times\big)$

Corrigé

	Corps ?	Justification
$(\mathbb{Z} \,;+\,;\times)$	non	$2$ est non nul et non inversible.
$(\mathbb{Q} \,;+\,;\times)$	oui	Tout rationnel non nul $\frac{p}{q}$ a pour inverse $\frac{q}{p}$ .
$\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$	oui	$5$ est premier (théorème 1).
$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$	non	$6=2 \times 3$ n'est pas premier ; $\overline{2}$ n'est pas inversible.
$\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$	oui	$11$ est premier.
$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$	non	$12$ n'est pas premier ; $\overline{4}$ n'est pas inversible.
$\big(\mathbb{R}^{2} \,;+\,;\times\big)$	non	$(1\,;0)$ est un diviseur de zéro (exercice 3).
$\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\,;\times\big)$	non	Les fonctions de l'exercice 3 sont des diviseurs de zéro.

Piège : pour les deux derniers, il ne suffit pas de dire qu'une fonction peut s'annuler. C'est la présence de diviseurs de zéro qui interdit d'être un corps, d'après la question 5 de l'exercice 3.

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 8 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Anneaux Corps

Thèmes

anneaux, éléments inversibles, corps

Notions

anneau, inversible, corps