Exercice 13

1. On calcule les sept carrés de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ : $$\overline{0}^{\,2}=\overline{0} \quad \overline{1}^{\,2}=\overline{1} \quad \overline{2}^{\,2}=\overline{4} \quad \overline{3}^{\,2}=\overline{2} \quad \overline{4}^{\,2}=\overline{2} \quad \overline{5}^{\,2}=\overline{4} \quad \overline{6}^{\,2}=\overline{1}$$

2. Notons $\mathcal{C}$ l'ensemble des carrés. Par définition, $\mathcal{A}=\{\overline{a}-\overline{c} \mid \overline{c} \in \mathcal{C}\}$. L'application $\overline{c} \mapsto \overline{a}-\overline{c}$ est injective, puisque $\overline{a}-\overline{c}=\overline{a}-\overline{c}\,'$ entraîne $\overline{c}=\overline{c}\,'$ dans le groupe $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\,;+)$. $$\boxed{\mathcal{A} \text{ possède } 4 \text{ éléments.}}$$

3. Les ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{A}$ sont deux parties de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$, qui compte $7$ éléments. Or : $$\mathrm{card}\,\mathcal{C}+\mathrm{card}\,\mathcal{A}=4+4=8>7$$ Ils ne peuvent donc pas être disjoints. Soit alors $\overline{z}$ un élément commun : il existe $\overline{y}$ tel que $\overline{z}=\overline{y}^{\,2}$, et il existe $\overline{x}$ tel que $\overline{z}=-\overline{x}^{\,2}+\overline{a}$. En égalant : $$\overline{y}^{\,2}=-\overline{x}^{\,2}+\overline{a} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \overline{x}^{\,2}+\overline{y}^{\,2}=\overline{a}$$

4. On applique ce qui précède à $\overline{a}=-\overline{1}=\overline{6}$. Parmi les carrés, on cherche deux valeurs de somme $\overline{6}$ : les carrés $\overline{2}$ et $\overline{4}$ conviennent, atteints respectivement en $\overline{3}$ et $\overline{2}$. $$3^{2}+2^{2}=9+4=13=7+6$$