Exercice 8

1. On a $1=\dfrac{1}{1} \in A$, le dénominateur $1$ étant impair. Soient $x=\dfrac{m}{n}$ et $y=\dfrac{m'}{n'}$ deux éléments de $A$, avec $n$ et $n'$ impairs. Alors : $$x-y=\frac{mn'-m'n}{nn'} \qquad\text{et}\qquad xy=\frac{mm'}{nn'}$$ Le produit $nn'$ de deux entiers impairs est impair, et les numérateurs sont entiers. $$\boxed{A \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{Q}.}$$

2. Soit $x$ un élément non nul de $A$, écrit sous forme irréductible $x=\dfrac{m}{n}$ avec $n>0$. Ce dénominateur est nécessairement impair : il divise le dénominateur impair d'une écriture quelconque de $x$.

L'élément $x$ est inversible dans $A$ si et seulement si $\dfrac{1}{x}=\dfrac{n}{m}$ appartient à $A$. Cette fraction étant déjà irréductible, cela équivaut à ce que $|m|$ soit impair. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Les inversibles de } A \text{ sont les fractions } \dfrac{m}{n} \text{ irréductibles} \\[2mm] \text{dont le numérateur \emph{et} le dénominateur sont impairs.} \end{array}}$$ Par exemple $\dfrac{3}{5}$ est inversible, alors que $\dfrac{2}{5}$ ne l'est pas : son inverse $\dfrac{5}{2}$ a un dénominateur pair.