Exercice 7

1. On a $1=1+\mathrm{i} \times 0 \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$. Soient $z=a+\mathrm{i}b$ et $z'=c+\mathrm{i}d$ avec $a,b,c,d$ entiers : $$z-z'=(a-c)+\mathrm{i}(b-d) \qquad\text{et}\qquad zz'=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)$$ Les quatre coefficients obtenus sont entiers. $$\boxed{\mathbb{Z}[\mathrm{i}] \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{C}.}$$

2. (a) La conjugaison est un morphisme d'anneaux, donc $\overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}$ : $$N(z)N(z')=z\overline{z}\,z'\overline{z'}=(zz')\big(\overline{z}\,\overline{z'}\big)=(zz')\overline{(zz')}=N(zz')$$

(b) Pour $z=a+\mathrm{i}b$ avec $(a\,;b) \in \mathbb{Z}^{2}$ : $$N(z)=z\overline{z}=(a+\mathrm{i}b)(a-\mathrm{i}b)=a^{2}+b^{2}$$ somme de deux carrés d'entiers. $$\boxed{N(z)=a^{2}+b^{2} \in \mathbb{N}}$$

(c) Soit $z$ inversible dans $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ : il existe $z' \in \mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ tel que $zz'=1$. En appliquant $N$ : $$N(z)N(z')=N(1)=1$$ Or $N(z)$ et $N(z')$ sont deux entiers naturels de produit $1$ : ils valent tous deux $1$. $$\boxed{N(z)=1}$$

(d) La condition $a^{2}+b^{2}=1$ avec $a$ et $b$ entiers impose $(a\,;b) \in \{(1\,;0)\,;(-1\,;0)\,;(0\,;1)\,;(0\,;-1)\}$. Réciproquement, ces quatre nombres sont bien inversibles dans $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$, puisque $1 \times 1=1$, $(-1) \times (-1)=1$ et $\mathrm{i} \times (-\mathrm{i})=1$. $$\boxed{\text{Les inversibles de } \mathbb{Z}[\mathrm{i}] \text{ sont } 1, \; -1, \; \mathrm{i} \text{ et } -\mathrm{i}.}$$ On reconnaît le groupe $\mathbb{U}_{4}$ du chapitre 4.